sistema de numeracion
 
       
 

Sistemas de numeración

Se entiende por base de sistema de numeración el número de dígitos necesarios para cambiar de una unidad a otra inmediatamente inferior o superior entendiendo por cada simbolo un dígito (bit).

Para transformar un número decimal a binario se va dividiendo por 2 y se van escribiendo los residuos, luego se leen estos de abajo hacia arriba y asi se obtiene el número binario pedido.

Ejemplo # 1:

#
D
residuo
binario
15
/
2
=
7
si
1
7
/
2
=
3
si
1
3
/
2
=
1
si
1
1
/
2
=
0
si
1

El número 15 en binario es 1111

Ejemplo # 2:

#
D
residuo
binario
40
/
2
=
20
no
0
20
/
2
=
10
no
0
10
/
2
=
5
no
0
5
/
2
=
2
si
1
2
/
2
=
1
no
0
1
/
2
=
0
si
1

El número 40en binario es 101000

Ejemplo # 3:

#
D
residuo
binario
262
/
2
=
131
no
0
131
/
2
=
65
si
1
65
/
2
=
32
si
1
32
/
2
=
16
no
0
16
/
2
=
8
no
0
8
/
2
=
4
no
0
4
/
2
=
2
no
0
2
/
2
=
1
no
0
1
/
2
=
0
si

1

El número 262 en binario es 100000110

Ejemplo # 4:

#
D
residuo
binario
233
/
2
=
116
si
1
116
/
2
=
58
no
0
58
/
2
=
29
no
0
29
/
2
=
14
si
1
14
/
2
=
7
no
0
7
/
2
=
3
si
1
3
/
2
=
1
si
1
1
/
2
=
0
si
1

El número 233 en binario es 11101001

COMPUERTAS LOGICAS

 

Lea detenidamente los postulados se que dan a continuación para que pueda entender bien el comportamiento de los circuitos digitales.

 

Postulados y Teoremas del algebra de Boole

Postulado # 1:

La suma lógica de dos o más variables equivale a la realización práctica de contáctos en paralelo.

A + B = S

Tabla de la verdad:

A
B
Salida
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1

 

(Circuito "OR")

Para la construcción de la tabla de la verdad es necesario conocer el número de combinaciones posibles de las variables, éste número es igual a la base 2 a la "n", donde "n" representa el número de variables.

Compuerta OR:

Postulado # 2:

A x B = S

El producto lógico de dos o más variables equivale a la realización práctica de circuitos serie (contáctos en serie).

Compuerta "AND"

Postulado # 3:

A + 1 = 1

La asociación eléctrica en paralelo de un contácto A con otro siempre cerrado es igual a uno (1).

Postulado # 4:

A + 0 = A

La asociación de un contácto "A" en paralelo con otro siempre abierto es igual a "A".

Postulado # 5:

A x 1= A

Postulado # 6:

A x 0 = 0

Un contácto "A" en serie con otro siempre abierto es igual a cero.

Postulado # 7:

A + A = A

Un contácto "A" en paralelo con otro contácto de su misma denominación igual al contácto "A".

Postulado # 8:

A x A = A

Dos contáctos iguales en serie equivalen a un sólo contácto "A".

Postulado # 9:

Esta es la propiedad conmutativa de la suma lógica la cual nos dice que el resultado de una distribución de contáctos en paralelo es independiente de su disposición.

A + B = B + A

Postulado # 10:

Postulado # 11:

En el algebra de Boole deben utilizarce paréntesis, corchetes, llaves, etc., para indicar el orden de las operaciones del circuito lógico.

A x B x C = (A x B) x C = B x (A x C)

Postulado # 12:

Propiedad distributiva del producto lógico la cual nos dice que la asociación en serie de un contácto con otros dos en paralelo equivalen a la asociación en paralelo de dos circuitos series formados por el producto en paralelo con cada uno de los otros dos.

A x (B + C) = (A x B) + (A x C)

Postulado # 13:

A + (B x C) = (A + B) x (A + C)

Postulado # 14:

Antes de poner en evidencia este postulado debemos aclarar que entenderemos por negación de una variable a ella misma afectada por el signo de negación, asi " A´ " se lee como negación de "A" o "A" negada.

Si A = 1 entonces A´ = 0

Si A = 0 entonces A´ = 1

Una variable en paralelo con su inverso siempre es igual a uno (1).

A + A´ = 1

Postulado # 15:

Una variable "A" en serie con su inversa siempre es cero.

A x A´ = 0

Postulado # 16:

Este postulado nos muestra como dando un doble inversión a una variable cualquiera o a una función cualquiera ésta no varía.

A´´ = A

Postulado # 17:

Si invertimos los miembros de una igualdad ésta no varía.

A + B = S

(A + B)´ = S´

 

Teorema # 1: (Absorción)

A + A´. B = A

A . (1 + B) =

A . 1 = A

 

 

Teorema # 2: (Absorción)

A . (A + B) = A

(A . A) + (A . B) =

A + A . B = A

A . (1 + B) = A . 1 = A

 

 

Teorema # 3:

A + (A´ . B) = A + B

(A + A´) . (A + B) =

1 . (A + B) = A + B

 

Teorema # 4:

(A + B´) . B = (A . B)

(A . B) + (B . B´) =

A . B + 0 = A . B

 

Teorema # 5:

(A + B) . (A´+ C) = A . C + A´. B

 

 

Teorema # 6:

(A + B )´ = A´. B´

 

 

Teorema # 7:

(A . B)´= A´ + B´

 

 

 

 

SIMPLIFICACION DE FUNCIONES
Con la ayuda de los postulados y teoremas vistos resulta evidente que ciertas funciones podrán ser simplificadas dando como resultado otras funciones equivalentes más sencillas, cuya realización electiva mediante contáctos o mediante funciones "OR" y funciones "AND" podran llevarse a cabo de una manera más simple y económica.

Ejemplo #1:

S = A´.B + A.B

El primer paso es sacar factor común "B".

S = B.(A´ + A)

Según el postulado # 14, (A´+ A) = 1

S = B.1

S = B

Ejemplo #2:

S = A.B.C + A´.B.C + A.B´.C

S = A.C.(B + B´) + A´.B.C

S = A.C + A´.B.C

S = C.(A + A´.B) ; Aplicando el teorema #1 nos queda:

S = C.(A + B)

Ejemplo #3:

S = A.B + A.C + A.D.A + A.A´.B´ + A.C.D + A.A´.B´.C

S = A.B + A.C + A.D.A + A.C.D

S = A . (B + C + D + C.D)

S = A . (B + C + D)

Obtención de expresiones algebraicas correspondientes a circuitos dados.

Para obtener la expresión algebraica de un circuito se van siguiendo los diferentes caminos en serie desde la entrada hasta la salida para luego agrupar estos caminos en paralelo. Es conveniente recordar siempre éste método, aunque la práctica nos dará la ecuación con sólo observar el diagrama.

Ejemplo #1:

Obtenga la expresión algebraica del siguente circuito:

S = A . B + C . D + F

Ejemplo #2:

Obtenga la expresión algebraica del siguente circuito:

S = A . B . (C . D + e´.F) . G

Ejemplo #3:

Obtenga la expresión algebraica del siguente circuito:

S = A.B´ + A´.B

Ejemplo #4:

Obtenga la expresión algebráica del siguente circuito:

S1 = (A + B) . C

S2 = A . (B.C.E + D)

Ingº Nelson Carranza Medina